微分方程
常见的一阶微分方程的解法
最简单的一阶微分方程形式为 \(f(x) \text{d}x = g(y) \text{d}y\)，此时等式两端积分即可。
齐次方程标准形式如下：\(y' = f(\frac{y}{x})\)，其中 \(f\) 有连续的导数，此时只需要令 \(u = \frac{y}{x}\)。
伯努利方程的标准形式为 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q(x) y^\alpha\)，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 均为连续函数，且 \(\alpha \neq 0, 1\)，两端同时除以 \(y^\alpha\)，再令 \(z = y^{1 - \alpha}\)
一阶线性方程的标准形式为 \(\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q(x)\)，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 均为连续函数，该方程的通解为 \(y = \text{e}^{-\int P(x) \text{d}x} \bigl(\int Q(x) \text{e}^{\int P(x) \text{d}x}\text{d}x + C\bigr)\)
凑全微分需要技巧
高阶微分方程
- 有些高阶微分方程可以降阶，比如 \(F(x, y', y'')\) 和 \(F(y ,y', y'')\)
常系数高阶线性微分方程
齐次线性微分方程
标准形式：\(y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} y' + a_n y = 0\)
特征方程法：令 \(I(\lambda) = \lambda^n + a_1 \lambda^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} \lambda + a_n = 0\)，解出所有特征根
根据特征根类型构造通解：
单实根 \(\lambda\)：对应解为 \(C e^{\lambda x}\)
\(k\) 重实根 \(\lambda\)：对应解为 \((C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1}) e^{\lambda x}\)
单复根 \(\alpha \pm \beta i\)：对应解为 \(e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\)
\(k\) 重复根 \(\alpha \pm \beta i\)：对应解为 \(e^{\alpha x}[(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1}) \cos \beta x + (D_1 + D_2 x + \cdots + D_k x^{k-1}) \sin \beta x]\)
例题讲解
解微分方程 \(y(y + 1) \text{d} x + [x(y + 1) + x^2 y^2] \text{d} y = 0\)。
变形如下
\[ \begin{aligned} (y + 1)(y\text{d} x + x\text{d} y) + x^2 y^2 \text{d} y &= 0 \\ \frac{\text{d} (xy)}{x^2 y^2} + \frac{\text{d} y}{1 + y} &= 0 \\ \frac{-1}{xy} + \ln |y + 1| &= C, C \in \mathbb{R} \end{aligned} \]
求微分方程 \((1 + y^2) \text{d} x + (x - \arctan y) \text{d} y = 0\) 的通解。
\[ \begin{aligned} \frac{\text{d} x}{\text{d} y} + \frac{x - \arctan y}{1 + y^2} &= 0 \\ \end{aligned} \]
求微分方程 \(y y'' - 2(y')^2 = 0\) 的通解
设 \(y' = p(y)\)，则 \(y'' = \frac{\text{d} p}{\text{d} y} \frac{\text{d} y}{\text{d} x} = p \frac{\text{d} p}{\text{d} y}\)，则原微分方程变为 \(y p \frac{\text{d} p}{\text{d} y} - 2 p^2 = 0\)，如果 \(p \neq 0\)，则 \(y \frac{\text{d} p}{\text{d} y} = 2p\)
求二阶非齐次线性方程 \(y'' - 3y' + 2y = 2\text{e}^{-x} \cos x + \text{e}^{2x}(4x + 5)\) 的通解